יום שבת, 19 בינואר 2013

מה הבעיה עם חלוקה באפס?


למה אי אפשר לחלק ב-0?
התשובה הקצרה היא שחלוקה באפס אינה מוגדרת במתמטיקה כי היא חסרת משמעות. התשובה הארוכה יותר, לפניכם:

* ראשית, כדי להיזכר במשמעויות של החילוק אני מציע לקרוא את המאמר על משמעויות החילוק במספרים טבעיים.

המספר אפס שימושי ביותר במתמטיקה אך נכנס לשימוש באופן שוטף מאוחר, יחסית, בחשבון. בחילוק האפס יוצר לנו בעיות. נבדיל בין שני מקרים: מקרה אחד, כאשר נרצה לחלק אפס באפס, ומקרה שני, כאשר נרצה לחלק מספר שאינו אפס באפס. נסמן לנו דוגמאות: 0:0 ו-6:0 בהתאמה.

חילוק לחלקים הוא בעל משמעות וניתן לבצעו כאשר אנחנו מחלקים למספר טבעי (מספרים שלמים החל מ-אחת: 1, 2, 3, ...) של חלקים. אי אפשר לחלק ל-0 חלקים (באותו אופן, אי אפשר לחלק ל- 8- או ל- 1/3 חלקים. מבחינת החילוק לחלקים יש משמעות רק לחילוק במספר טבעי.

מתוך הבנה של חילוק להכלה אנו יכולים לומר שהתרגיל 6:0 פירושו (בין השאר) "כמה פעמים 0 נכנס ב-6?". אבל אנחנו יודעים שאין זה משנה כמה אפסים נחבר יחדיו נשאר עם אפס ולעולם לא נקבל 6. ולכן אין שום תשובה נכונה לתרגיל 6:0 ובאותו האופן אין משמעות לכל מספר טבעי שנחלק באפס.

מצבו של 0:0 שונה. לפי משמעות של חלוקה להכלה "כמה פעמים 0 נכנס ב-0?" אין זה נכון לומר שאין תשובה. פה הבעיה היא שכל תשובה נכונה: כי יכולנו לומר שאפס נכנס באפס חמש פעמים וזה נכון. אבל גם אפס נכנס באפס 19 פעמים וגם זה נכון! כך עם כל מספר שנבחר. משום שכללי החילוק נקבעו כך שישנה רק תשובה אחת נכונה, נאמר שאי אפשר לחלק באפס. הסיבה שלא נבחרה אחת התשובות הנכונות באופן שרירותי כפתרון היא משום שבחירה כזאת מביאה לסתירות במתמטיקה ואין אנו רוצים בזאת.

הבעיה אינה בחוסר יכולתנו להגדיר חלוקה באפס. נוכל, למשל, להגדיר שכל מספר שאותו נחלק באפס יתן את התוצאה 42. לו היינו עושים דבר, לא היינו יכולים להבטיח שכל שאר החוקים והכללים בחשבון ימשיכו לפעול כהלכה. היינו למשל מקבלים ש-
1:0=42
ואז להשתמש בחוקי החשבון הרגילים שאנו מכירים ולקבל
1=42x0=0

חילוק הוא פעולה הפוכה לכפל (כמה זה 10 לחלק ב-2? זה המספר שאם נכפול אותו ב-2 נקבל 10). העסק הזה לא יהיה נכון יותר אם נקבל את ההגדרה המוזרה שלנו לחילוק באפס (או כל הגדרה אחרת). איך למשל, נוכל לקבל 6?
6:2=3; 6=2x3
ננסה: כמה זה 6 לחלק באפס? זה אמור להיות המספר שאם נכפול אותו באפס נקבל 6 אבל כל מספר שכופלים באפס יוצא אפס אז איך נקבל את 6? אז 6:0 לא בא בחשבון (הא!), ובאותו האופן גם לא בא בחשבון שום מספר אחר שמחולק באפס, מלבד, אולי, אפס בעצמו...

אז מה עם 0:0?

המנה של כל מספר שמחולק בעצמו (מלבד 0) היא 1. לו הגדרנו את 0:0 להיות גם כן 1 אז היינו מקבלים ש-
0x1=0
שזה אפילו עובד. אז מדוע המתמטיקאים מתעקשים שאין משמעות לביטוי 0:0? הסיבה היא שישנו כלל אחר שנפגע: אם נניח שאכן
0:0=1
אז היינו מקבלים:
2=2x1=2x(0:0)=(2x0):0=0:0=1
וכמובן, לקבל ש-2 שווה ל-1 זאת תוצאה שאינה רצויה.

לסיכום, משום שאיננו רוצים סתירות המתמטיקה, אזי מוותרים על החילוק באפס.



המורה,