יום שבת, 19 בינואר 2013

משמעויות החילוק במספרים טבעיים



משמעויות של פעולת החילוק במספרים טבעיים

במתמטיקה, כמו בשפה טבעית, יש גם ריבוי משמעויות: כמו שבעברית אפשר לקרוא את המילה אחות שמשמעותה יכולה להיות אחות רפואית או אחות במשפחה או אחות נזירה וכך הלאה גם לסימנים במתמטיקה יש מספר משמעויות. איך יודעים מה המשמעות המתאימה? כמו בשפה, לפי ההקשר!

כמו שראינו בפעולות החשבון: חיבור, חיסור וכפל, עד כה יש פנים רבות ואנחנו מוצאים את עצמנו משתמשים באותה הפעולה בעקבות תהליכי מחשבה שונים -- כך גם בחילוק: תהליך החשיבה שונה מעיקרו אך לבסוף אנו מגיעים לאותה פעולת החילוק.

ניזכר בכפל

ראשית, ניזכר בפעולת הכפל: פעולת כפל היא קיבוץ של קבוצות שוות גודל לשלם אחד. את הקיבוץ מבצעים באמצעות פעולת חיבור. לכן פעולת הכפל היא פעולה שמשמעותה חיבור חוזר של קבוצות שוות גודל.


את הכמות הכוללת של העגבניות אפשר למצוא בעזרת חיבור חוזר של קבוצות שוות גודל:
או למצוא בקיצור באמצעות פעולת כפל:
הנה תרשים שמתאים לתיאור הפתרון שלנו:
ותרשים כללי יותר שמתאר את פעולת הכפל: 
למכפלה ולנכפל אותו הכינוי. לכופל אין כינוי משום שהוא מונה את מספר הקבוצות.

הערה חשובה להורים: למעשה: יש לכופל יחידות, במקרה שלנו, היחידות הן צלחות והיחידות של הנכפל הן צלחת/עגבניות (עגבניות בצלחת) ומתוך חשבון יחידות נקבל ש-3 צלחת כפול 4 צלחת/עגבניות הן 12 עגבניות (כפלנו 3 ב-4 וקיבלנו 12 ואת היחידה צלחת שבכופל צימצמנו עם היחידה צלחת שבנכפל. משום המורכבות, אנחנו איננו מתעסקים בזה כשלב הזה ושומרים את הדיון לשלב מתקדם יותר, למשל בעת העיסוק בבעיות הספק בכיתות ה'-ו'.
ועכשיו, החילוק

הנה בעיה חשבונית:
750 מתלמידי בית ספר יצאו לביקור בבית התפוצות. לצרכי הדרכה הם התפצלו לקבוצות של 25 תלמידים בכל קבוצה. לכמה קבוצות התפצלו?
הפעולה שתוביל לפיתרון היא פעולת החילוק.
750 הוא המחולק, כי הוא מקבל הפעולה: מחלקים אותו.
25 הוא ההמחלק, כי הוא מבצע הפעולה.
התוצאה הסופית היא המנה. מנה היא תוצאה של תרגיל חילוק.


המציאו בעייה שבה המחולק יהיה 96 והמחלק יהיה 8. מה תהיה המנה?
מדוע חשוב לְכַנוֹת בְּשֵם את המחלק, המחולק והמנה?

השיום (מתן השם) עוזר לנו בתיקשורת. אנחנו יכולים להבין טוב יותר אחד את השני, אפשר לדעת לְמה מתכוונים. זה גם עוזר לנו להבין, כי אנחנו יודעים להבחין טוב יותר בין מקבל את הפעולה – הסביל , לבין עושה הפעולה – הפעיל. כאשר יש שמות לדברים קל יותר לזכור אותם. זה יכול לעזור לנו בקריאת בעיות שבהן מופיעות המילים האלה.


לחילוק במספרים טבעיים יש שלוש משמעויות:

  1. חילוק לחלקים שווים
  2. חילוק להכלה
  3. חילוק כמבטא יחס
 נדון עתה בשתיים מהן: חילוק לחלקים ו-חילוק להכלה 


הנה סרטון שמדגים הקניית הנושא:




חילוק לחלקים שווים

בקערה  יש 12 עגבניות. סידרנו אותן שווה בשווה בשלוש קעריות. כמה עגבניות יש בכל קערית?

בכפל, השלם הוא מכפלה.
בחילוק, השלם הוא המחולק.
החיצים מציינים את מספר הקבוצות: בכפל, זהו הכופל; בחילוק לחלקים הוא המחלק.
בכפל, מספר הפריטים בכל קבוצה חלקית הוא הנכפל. בחילוק לחלקים, מספר הפריטים בכל קבוצה חלקית הוא המנה.
נתון שלם ומספר קבוצות שוות גודל של אותו השלם.בחילוק לחלקים אנו מחשבים את מספר הפריטים בכל קבוצה.
הבעיה החשבונית:
בקערה  יש 12 עגבניות. סידרנו אותן שווה בשווה בשלוש קעריות. כמה עגבניות יש בכל קערית?

התרגיל המתאים:
תשובה:
4 עגבניות בכל קערית.

חילוק לחלקים הוא זה שאנו מורגלים בו יותר בחיי היומיום. אנחנו רגילים לחלק עצמים שווה בשווה בין מספר ידוע מראש של אנשים, למשל, 6 ממתקים מחולקים שווה בשווה בין 2 אחים, אז כמה ממתקים יקבל כל אחד משני האחים?
התרגיל, כמובן, 6:2. בחילוק לחלקים שבו אנו מבצעים 6:2 אנו מחלקים 6 עצמים ל-2 קבוצות שוות גודל, ושואלים כמה בכל קבוצה. התוצאה היא 3 ופירושה: שתי קבוצות שכל אחת מהן בעלת 3 עצמים וביחד יש 6 עצמים. כלומר, 2 פעמים 3 הם 6 (או בחיבור 6=3+3). 6 הוא המחולק (כי אותו מחלקים), 2 המחלק (כי הוא מחלק: קובע את מספר הקבוצות שוות הגודל) ו-3, המנה, קובע כמה איברים בכל קבוצה.

חילוק להכלה

הבעיה החשבונית:
בקערה יש 12 עגבניות. סידרנו אותן שווה בשווה בקעריות. בכל קערה הנחנו 4 עגבניות. בכמה קעריות השתמשנו?

התרגיל המתאים:

תשובה:
השתמשנו בשלוש קעריות.

בחילוק להכלה למחלק ולמחולק יש את אותו הכינוי,כי הקבוצות החלקיות מורכבות מאותם הפריטים שבונים את השלם. 
בחילוק להכלה אנחנו מחשבים כמה פעמים 12 מכיל את 4 (כמה פעמים 4 "נכנס" ב-12).

בסוג השני של החילוק מתהפכים התפקידים בין מספר הקבוצות לבין מספר האיברים בכל קבוצה. הפעם נתון מספר האיברים בכל קבוצה ומבוקש מספר הקבוצות. למשל, אמא חלקה 6 ממתקים בין ילדיה. כל אחד קיבל 2 ממתקים. כמה ילדים יש לה?
התרגיל הוא 3=6:2, אבל הפעם הוא עונה לשאלה אחרת. בחילוק לחלקים שאלנו: 6 עצמים חולקו ל-2 קבוצות, כמה עצמים יהיו בכל קבוצה? ואילו בחילוק להכלה השאלה היא: חילקנו 6 עצמים כך שבכל קבוצה יש 2, כמה קבוצות יש?
אפשר לבטא זאת כך: כמה פעמים נכנס 2 ב-6, או כמה פעמים מוכל 2 ב-6? מכאן שם הסוג הזה של החילוק, חילוק להכלה. התשובה 3 משמעותה ש-3 קבוצות בגודל 2 מכילות יחד 6. כלומר, 3 פעמים 2 הם 6 (בחיבור: 6=2+2+2).
נבחין שהבדל בין שתי המשמעויות הוא בהבדל בין 2 פעמים 3 לבין 3 פעמים 2.

דוגמה נוספת להקניית ההבדלים בין חילוק לחלקים לבין חילוק להכלה


הנה שתי בעיות, השוו ביניהן:

בעייה ראשונה:
ליוסי היו 60 בולים. הוא חילק אותם שווה בשווה ל- 6 חברים. כמה קיבל כל חבר?
בעייה שנייה:
ליוסי היו 60 בולים. הוא חילק אותם שווה בשווה בין כל חבריו. כל חבר קיבל 6 בולים. כמה חברים יש ליוסי?
ילדים: בשתיהן יש פעולת חילוק.
הורה: כבר ראינו שאפילו אם הפעולה החשבונית היא אותה פעולה, יכול להיות הבדל בתהליך שהוביל אותנו לפעולה הזאת. כדאי לבדוק את זה גם כאן.
ילדים: אמרת שבתהליך ההשוואה צריך להתייחס גם לשווה וגם לשונה. מצאתי את השווה: המספרים שווים, הפעולה היא חילוק והתוצאה המספרית שווה.
הורה: ומה שונה?
ילדים: בשאלה הראשונה מחלקים בולים לילדים. בשאלה השנייה מחלקים בולים לבולים.
הורה: אני מבין איך אפשר לחלק בולים לילדים. הנה אני אקח 10 בולים ואחלק אותם לחמשת הילדים היושבים כאן (מחלק). זוהי פעולת חילוק. כמובן שאני מחלק שווה בשווה. אין בפעולת חילוק אפשרות לחלק לחלקים לא שווים. (אוסף את הבולים) עכשיו אני רוצה לחלק לפי הבעיה השנייה. איך אחלק את הבולים שבידי לבולים? מה למעשה אני עושה?
ילדים: אתה מחפש כמה פעמים קבוצות של 6 בולים נכנסות לתוך הקבוצה הכוללת של 60 הבולים.
הורה: ננסח זאת קצת אחרת. אני רוצה לבחון כמה פעמים הקבוצה של 60 הבולים מכילה בתוכה את הקבוצות בנות 6 הבולים. מספר הפעמים שקבוצה הגדולה מכילה את הקבוצות הקטנות נותן את מספר החברים. עכשיו כבר נוכל לשיים את שתי הפעולות וגם להבין יותר טוב את שני הסוגים של תהליכי החשיבה. האם מישהו מכם מוכן לסכם את מה שלמדנו עד עכשיו?
[הילדים מסכמים]
הורה: ראינו שיש שני סוגים של חילוק. גם אם המספרים זהים, המחשבה שונה. בחילוק אחד אנחנו מחלקים ממש, בשני אנחנו מחפשים כמה פעמים הקבוצות שוות הגודל נכנסות לקבוצה הכוללת. 
הורה: לבעיה מהסוג הראשון קוראים: חילוק לחלקים, לבעיה מהסוג השני קוראים חילוק להכלה.
הורה: למה חשוב לשיים את הבעיות?
ילדים: יהיה לנו יותר קל לזכור את סוג הבעיה וגם נוכל למיין לאיזה סוג היא שייכת.
הורה: מה יתרום לנו המיון?
ילדים: כאשר אנחנו יודעים לאיזה סוג שייכת הבעיה זה מוביל אותנו לפתרון.
ילדים: זה יעזור לנו בתשובה הסופית, נדע מה הן היחידות. זה עוזר גם לביקורת.
ילדים: המיון עוזר לי להבין. השיום עוזר לי לזכור.
הורה: כל התהליכים האלה ביחד יש להם שם אחד: הפנמה. 
ילדים: אנחנו רואים שאפשר להגיע לפעולת החילוק על ידי תהליכי חשיבה שונים. למעשה החילוק הוא עוד פעולה מחשבתית – הוא מבטא יחס. את זה למדתם בכפל, למשל, פי כמה 15 גדול מ – 3 . איזו פעולה צריך לעשות כדי שנדע את היחס בין 15 ל – 3 ?
ילדים: חילוק.
הורה: נכון, חילוק מבטא גם יחס. מי עכשיו יכול לסכם את כל הידוע לנו על החילוק?
ילדים: החילוק בחשבון אפשרי רק כאשר מחלקים לחלקים שווים.
- לחילוק, כך גילינו עד עכשיו, יש כבר 3 משמעויות שונות: יש חילוק לחלקים, יש חילוק להכלה ויש חילוק שמבטא יחס.
הורה: במה אפשר להיעזר כדי לזהות את סוג הבעייה שלפנינו?
ילדים: בכינויים. אם למחולק ולמחלק אותו כינוי – זהו חילוק להכלה.
אם למחולק ולמחלק כינויים שונים – זהו חילוק לחלקים.
הורה: למה בחילוק להכלה חייב להיות אותו כינוי לאיברי הקבוצה הכוללת ולאיברי הקבוצות הכלולות?
ילדים: בהכלה אנחנו בודקים כמה פעמים נכנסות תת-הקבוצות לקבוצה הכוללת. תת-הקבוצות בנויות מאותם האיברים של הקבוצה הכוללת, לכן יש להן אותו כינוי.
הורה: מישהו יכול לתת לנו דוגמה?
ילדים: 
חילוק לחלקים:
היו לי 40 מחברות. חילקתי אותן שווה בשווה ל – 8 חברים. כמה קיבל כל חבר?
5 מחברות = 8 חברים : 40 מחברות
חילקנו מחברות לחברים – הכינויים שונים.

חילוק להכלה:
היו לי 30 ספרים. חילקתי אותם שווה בשווה בין חבריי, כל חבר קיבל 6 ספרים. לכמה חברים חילקתי את הספרים?
5 חברים = 6 ספרים : 30 ספרים
חילקנו ספרים לספרים – הכינויים שווים. זהו חילוק להכלה.
הורה: יפה. עכשיו עלינו לחזור למיגרש המישחקים. מה עלינו לבדוק?
ילדים: עלינו לבדוק אם חוקי החילוק במספרים הטבעיים אפשריים בכל מיגרש המישחקים.
מורה: איך נעשה זאת?
ילדים: ננסה לבדוק מספר תרגילים .
הורה: הציעו תרגילים.
[מציעים]
הורה: בכל התרגילים שהצעתם המחולק גדול מהמחלק. בואו נראה מה קורה אם המחולק קטן מהמחלק. מי יכול להמציא בעיה חשבונית שבה מחלקים מספר קטן במספר גדול ממנו?
ילדים: אי אפשר. תמיד מחלקים מספר גדול במיספר קטן ממנו.
הורה: אני אספר לכם סיפור חשבוני שבו נחלק מספר קטן לגדול ממנו.
קניתי 2 פיצות והיינו 3 אנשים. חילקנו בינינו את הפיצות שווה בשווה. כמה קיבל כל אחד מאיתנו?
ילדים: 2 לחלק ל-3.

הורה: הפעולה אמנם נכונה, אבל מה תהיה התשובה שלכם?
ילדים: אין תשובה אחרת.
הורה: יש תשובה, אבל היא לא במיגרש של המספרים הטבעיים. התשובה היא  ⅔  כלומר : שני שלישים, כי 2 לחלק ל-3 הוא 2:3 וזה בדיוק  ⅔ . הקו המפריד בין 2 לבין 3 מציין פעולת חילוק. הוא מזכיר לנו חיתוך, כמו החתך שמתקבל בעת שמחלקים עוגה. נכנסנו למיגרש של המספרים השבורים. עד עכשיו טיפלנו במספרים הטבעיים, שהם מספרים שלמים וחיוביים, עכשיו ראינו שיש מספרים נוספים והם: שברים פשוטים

למה אי אפשר לחלק ב-0?

המספר אפס שימושי ביותר במתמטיקה אך נכנס לשימוש באופן שוטף מאוחר, יחסית, בחשבון. בחילוק האפס יוצר לנו בעיות. נבדיל בין שני מקרים: מקרה אחד, כאשר נרצה לחלק אפס באפס, ומקרה שני, כאשר נרצה לחלק מספר שאינו אפס באפס. נסמן לנו דוגמאות: 0:0 ו-6:0 בהתאמה.

חילוק לחלקים הוא בעל משמעות וניתן לבצעו כאשר אנחנו מחלקים למספר טבעי (מספרים שלמים החל מ-אחת: 1, 2, 3, ...) של חלקים. אי אפשר לחלק ל-0 חלקים (באותו אופן, אי אפשר לחלק ל- 8- או ל- 1/3 חלקים. מבחינת החילוק לחלקים יש משמעות רק לחילוק במספר טבעי.

מתוך הבנה של חילוק להכלה אנו יכולים לומר שהתרגיל 6:0 פירושו (בין השאר) "כמה פעמים 0 נכנס ב-6?". אבל אנחנו יודעים שאין זה משנה כמה אפסים נחבר יחדיו נשאר עם אפס ולעולם לא נקבל 6. ולכן אין שום תשובה נכונה לתרגיל 6:0 ובאותו האופן אין משמעות לכל מספר טבעי שנחלק באפס.

מצבו של 0:0 שונה. לפי משמעות של חלוקה להכלה "כמה פעמים 0 נכנס ב-0?" אין זה נכון לומר שאין תשובה. פה הבעיה היא שכל תשובה נכונה: כי יכולנו לומר שאפס נכנס באפס חמש פעמים וזה נכון. אבל גם אפס נכנס באפס 19 פעמים וגם זה נכון! כך עם כל מספר שנבחר. משום שכללי החילוק נקבעו כך שישנה רק תשובה אחת נכונה, נאמר שאי אפשר לחלק באפס. הסיבה שלא נבחרה אחת התשובות הנכונות באופן שרירותי כפתרון היא משום שבחירה כזאת מביאה לסתירות במתמטיקה ואין אנו רוצים בזאת.

מה המשמעות של חלוקה במספר שאינו שלם?

* שימו לב שכאשר המחלק אינו מספר טבעי, אלא שבר פשוט או מספר מעורב, אנחנו מאבדים את האינטואיציה. מה זה, למשל, חמישית לחלק לשמינית? נרחיב ונעמיק בשיעור נפרד בנושא בהמשך הסדנה, כשנטפל בשברים. רמז: חשבו על החילוק להכלה...

משמעויות נוספות של החילוק



עסקנו ב-חילוק לחלקים וב-חילוק להכלה אולם ישנן משמעויות נוספות לחילוק. 





מתוך המאמר של תלמה גביש: "על החילוק של המספרים הטבעיים"



חילוק כמבטא יחס

בעיה חשבונית:
יש לי 12 עגבניות. יש לי 3 קעריות. מה היחס בין כמות העגבניות לבין כמות הקעריות?
היחס הוא 12:3
איך הגענו לתשובה? ביצענו פעולת חילוק: 4=12:3.
התוצאה היא מספר חסר כינוי.
יצאנו מהנתונים המספריים והגענו ליחס.

לפנינו עובד אשר מרוויח 1000 ש"ח. מה נוכל לומר על מצבו?
לא נוכל לומר דבר בעל משמעות כי איננו יודעים ביחס למה להעריך את שכרו של העובד שמשתכר 1000 ש"ח. אם למשל היו בידינו נתונים על השכר הממוצע בעבור עבודה שמבצע עובד כזה אז יכולים היינו להעריך האם הוא משתכר פחות מידי, יותר מידי, או שכר הגון.

בעיה חשבונית:

בחוגי סיירות משתתפים 450 ילדים. בחוגי מחשבים משתתפים 90 ילדים. פי כמה  גדול מספר המשתתפים בחוגי הסיירות לעומת מספר המשתתפים בחוגי  המחשבים?


אפשר לנסח את השאלה גם פי כמה קטן מספר המשתתפים בחוגי המחשב מזה  שבחוגי הסיירות. התרגיל ישאר אותו התרגיל.
למחלק ולמחולק יש מכנה משותף, אך המנה היא מספר טהור, חסר כינוי.

בבעיה הזאת מצאנו את היחס בהנתן שני גדלים כמותיים.

בעיה חשבונית:
בדוכן אחד בשוק יש 280 ק"ג ירקות, בדוכן הסמוך לו יש פי 7 יותר ירקות. כמה ק"ג ירקות יש בדוכן השני?

אנו זוכרים שהמילה פי מבטאת יחס. זו בעיה שפתרונה דורש כפל (ולא חילוק) ה-280 ב-7.
התרגיל:
בעיה חשבונית אחרת:

בדוכן אחד בשוק יש 280 ק"ג ירקות, בדוכן הסמוך לו יש פי 7 פחות ירקות. כמה ק"ג ירקות יש בדוכן השני?
פה נזדקק לחילוק כי יש כאן רמז לשון: "פי כמה פחות"


עכשיו נראה תרגיל שמופיע בו רמז לשון "פי 3 יותר" ונזדקק דווקא לחילוק. למרות המילה יותר הפעולה מחייבת הקטנת הגודל הכמותי על ידי חילוק:
לתמי יש בקופת החיסכון שלה 540 ש"ח. לתמי יש פי 3 יותר כסף בקופת החיסכון שלה מאשר ליותם. כמה כסף יש ליותם בקופת החיסכון שלו?
חשוב שנבין מהי נקודת המוצא לקביעת היחס ולפיה נדע מהי הפעולה החשבונית שיש לבצע.

המכנה המשותף בין הכמויות מאפשר את קביעת היחס -- ללא המידה המשותפת לא ניתן לקבוע יחס בין הכמויות. המכנים המשותפים בין המחלק לבין המחולק הם הבסיס להשוואה.

נתבונן בבעיה שבה נצטרך להביא את הכמויות למכנה משותף שבלעדיו לא נוכל לקבוע את היחס:
תייר הביא עמו 700 ש"ח וחברו הביא עמו 1400 דולר. מה היחס בין כמויות הכסף שבידיהם?

קביעת היחס תחייב המרת הערכים בין המטבעות ממטבע אחד לאחר או מכל מטבע למטבע שלישי, רק כך נוכל לקבוע את היחס שבין הכמויות.

ללא מידה משותפת לא ניתן לקבוע יחס
ליחס יש כמה משמעויות ומובנים ונעסוק בו בהרחבה בשיעור מספר 12. נזכיר כעת גם משמעות נוספת של חילוק (שגם היא בעצם יחס)



חילוק כהקטנה

ילד קיבל 12 עגבניות ואילו חברו קיבל פי שלושה פחות מהראשון. כמה עגבניות קיבל החבר?
התשובה: 4 עגבניות לחבר. ביצענו פעולת חילוק 4=12:3
אנו יוצאים מהיחס ומגיעים למספר שנובע מהיחס.
יש קשר הפוך בין המשמעות השלישית לבין המשמעות הזאת, הרביעית: שתי המשמעויות הן פועל יוצא של אותה הפעולה -- החילוק.

היחס בין מספר התלמידים בין ישוב א' לבין ישוב ב'  הוא 1:8. בישוב ב' לומדים 560 תלמידים. כמה תלמידים לומדים בישוב א'?

הגודל הכמותי הנתון: 580 תלמידים. זהו שלם אחד.
היחס הוא 1:8.
הגודל הכמותי שנובע מהנתונים (חישוב ערכו של השלם השני).
כאמור, ליחס יש כמה משמעויות ומובנים ונעסוק בו בהרחבה בשיעור מספר 12. גם במשמעות זו.

אני מקשר לסיכום שיעור בנושא משמעויות של יחס: סדנת מתמטיקה עמל בכפר יונה: שיעור מספר 12: היחס ומשמעויותיו. בנוסף, אני ממליץ מאוד לקרוא את מערך השיעור של תלמה גביש בנושא משמעויות היחס מתוך האתר שלה.

סיכום ההבדלים בין המשמעויות של החילוק: לחלקים להכלה ויחס
בחילוק אין מכנה משותף למחלק, למחולק ולמנה

כמה סוגים של חילוק אנחנו מכירים?
  1. חילוק לחלקים
  2. חילוק להכלה
  3. חילוק כיחס
החילוק כיחס מתחלק ל:
     א. מציאת היחס על פי שני גדלים כמותיים
     ב. מציאת גודל כמותי על פי גודל כמותי נתון והיחס בין שני הגדלים הכמותיים


להרחבה בנושא החילוק
למי שמתעניין בחילוק ארוך, חשיבותו והוראתו
הורים ומורים מוזמנים לפנות כדי לקבל חומר נוסף על הוראת המשמעויות של פעולות החשבון במספרים טבעיים לרבות מערכי שיעור וכן לשאול שאלות ולהתייעץ. אעזור כמיטב יכולתי. 

המורה,