יום שישי, 5 באפריל 2013

כיצד נדע מתי לחסר ומתי לחבר בבעיות מילוליות?


יחסי גודל המתבטאים בחיבור וחיסור: כיצד נדע מתי לחסר ומתי לחבר בבעיות מילוליות?


למילה גודל בעברית יש מובנים שונים:
1. גודל פיזי
דוגמה:
השולחן הזה גדול מהשולחן ההוא.  
דוגמה נוספת:
התקציב לשנה הנוכחית גדול מהתקציב של השנה שעברה.  
גודל פיזי יכול לעבור תהליך כימות שמתבטא בהעברתו ליחידות. לדוגמה, המשפט: אורך הקו הוא 7 ס"מ, משמעותו היא שהקו חולק ל-7 קטעים שֶשֵם כל אחד מהם הוא סנטימטר. גודלו של הקו הוא אורכו והוא נמדד במספר הקטעים הכלולים בו שאותם אנחנו מונים, כלומר בכמותם של הקטעים האלה שהם יחידות מידה. 

2. גודל כמשתנה כמותי המתבטא במספר 

בתיאור סוגי היחסים שנוצרים על ידי כמות העפרונות שבידי כרמלה וסער [ראו תיאור דיון בהמשך] השתמשנו בגודל במובן של משתנה כמותי, שפירושו: כמות המצוייה ביחס כלשהו לכמות אחרת. 

הערה
כדי להימנע מבלבול בכיתה, איננו ממליצים להשתמש בביטויים גודל קטן, גודל גדול. המינוחים שיש להשתמש בהם בעת ההוראה: כמות, ערך ויחס. לדוגמה: הערך הקטן, הערך הגדול. 
עם זאת, אפשר לחשוף את הילדים למושג גודל, להסביר את כפל המשמעויות שלו ולציין שבהקשר הנדון הכוונה היא לכמות המקיימת יחס כלשהו עם כמות אחרת ולא לגודל פיזי. כלומר, הכוונה היא למציאת יחס בין שני ערכים. 

פעילות ודיון  
הסימון "מ:" מציין את דברי המורה ואילו הסימון "ת:" מציין את דברי התלמידים.

מ: כרמלה וסער, גשו אלי. אני מגיש לכם מספר פריטים.  כרמלה, הראי לכיתה מה קיבלת. 
כרמלה: המורה נתן לי 12 עפרונות.
מ: סער, מה קיבלת? 
סער: 4 עפרונות.
מ: מי יכול לספר סיפורי חשבון רבים ככל האפשר על העפרונות של כרמלה ושל סער? אני ארשום את ההצעותיכם על הלוח ואמספר אותן. [מדוע למספר? המספור יסייע לנו בתקשורת בהמשך -- כך נוכל להתייחס בקלות להצעה כזאת או אחרת בעזרת ציון מספרה].

ת: 1) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש להם ביחד? 
ת: 2) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. למי יש יותר עפרונות? בכמה?
ת: 3) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. למי יש פחות עפרונות? בכמה? 
ת: 4) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לכרמלה יותר מאשר לסער? 
ת: 5) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לסער פחות מאשר לכרמלה? 
ת: 6) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. בכמה גדול מספר העפרונות של כרמלה ממספר העפרונות של סער? 
ת: 7) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. בכמה קטן מספר העפרונות של סער ממספר העפרונות של כרמלה? 
ת: 8) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. לכרמלה יש ________ עפרונות יותר מאשר לסער. 
ת: 9) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. לסער יש _______ עפרונות פחות מאשר לכרמלה. 
ת: 10) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות כרמלה צריכה לתת לסער כדי שמספר העפרונות של שניהם יהיה שווה? 
ת: 11) [שגוי] לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות סער צריך לתת לכרמלה כדי שמספר העפרונות של שניהם יהיה שווה? 
מ: נפתור ביחד את הבעיות שרשמתי על הלוח. איך נפתור את (1)?
1) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש להם ביחד? 
ת: נחבר 12 ו-4. התרגיל יהיה: 
16 עפרונות = 4 עפרונות + 12 עפרונות
ביחד היו להם 16 עפרונות.
מ: נפתור את (2).
2) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. למי יש יותר עפרונות? בכמה? 
ת: לכרמלה יש יותר עפרונות. כדי למצוא בכמה יותר, נחסר 4 מ- 12. 
התרגיל יהיה:
8 עפרונות = 4 עפרונות - 12 עפרונות
לכרמלה יש 8 עפרונות יותר מאשר לסער. 
מ: נפתור את (3).
3) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. למי יש פחות עפרונות? בכמה? 
ת: לסער יש פחות עפרונות. כדי למצוא בכמה פחות, נחסר 4 מ- 12. 
התרגיל יהיה:
8 עפרונות = 4 עפרונות - 12 עפרונות
מ: מה אפשר לומר על 3 הבעיות האלה? 
ת: אחת מהן עוסקת בחיבור. שתי האחרות עוסקות בחיסור. 
מ: נתייחס לשתי בעיות החיסור. מה המשותף להן?
ת: התרגיל. 
מ: מה מצאנו בתרגיל? 
ת: את ההפרש בין מספר העפרונות של כרמלה ושל סער. 
מ: התרגיל זהה. האם הבעיות זהות? 
ת: לא. הנתונים היו אותם הנתונים, אבל ב-(2) שאלו בכמה יותר ואילו ב-(3) שאלו בכמה פחות. 
מ: השאלות של הבעיות היו שונות והתרגילים שווים. מה המסקנה שלכם? 
ת: כאשר נתונים שני גדלים, ושואלים "בכמה יותר" או "בכמה פחות" עלינו למצוא את ההפרש. הפרש מתקבל על ידי החסרת המספר הקטן מהמספר הגדול. 



[הערה : איננו מטפלים בשלב זה במקרים שבהם ההפרש בין שני מספרים הוא אפס כי שני הגדלים שווים. במקרה כזה אין משמעות לשאלה מה מחסרים ממה. ]



מ: נראה ממה מורכבות שתי הבעיות האלה: כמות העפרונות של כרמלה, כמות העפרונות של סער והקשר ביניהם. נתונות שתי הכמויות ועלינו למצוא את הַקֶּשֶר . ביניהן 
מ: נפתור את (4).
4) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לכרמלה יותר מאשר לסער? 
ת: זו בדיוק בעיה (2), רק הניסוח שונה. 
מ: נכון. נעבור ל-(5). 
5) לכרמלה 12 עפרונות. לסער 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לסער פחות מאשר לכרמלה? 
ת: זו בדיוק בעיה (3) , רק הניסוח שונה. 
מ: נכון. נעבור ל-(6). 
ת: אני כבר רואה שבעיות (6), (7), (8) ו-(9), כולן מאותו סוג של (2) ו-(3) רק הניסוחים שונים. 
מ: נסכם את מה שלמדנו עד עכשיו בבעיות שהצעתם. 
ת: היו נתונים שני גדלים, כלומר שתי כמויות או שני ערכים, ואנחנו חיפשנו את היחס ביניהם, חיפשנו בכמה אחד מהם גדול מהשני, או קטן מהשני. 
מ: צדקתם. אני מוסיף בעיה: 
12) לכרמלה יש 8 עפרונות יותר מאשר לסער. לסער יש 4 עפרונות. כמה עפרונות יש לכרמלה? 
מה החידוש שבבעיה הזאת לעומת הבעיות (2)-(9)?
ת: בבעיה (12) נתון רק גודל אחד [מספר העפרונות של סער] ונתון היחס [הקשר, ההפרש] בין שני הגדלים. צריך למצוא את הגודל השני [מספר העפרונות של כרמלה]. בבעיות (2)-(9) היו נתונים שני הגדלים ומצאנו את היחס [את ההפרש] ביניהם. 
מה עלי לעשות כדי למצוא את מספר העפרונות של כרמלה? 
ת: צריך לחבר 8 ל-4.
מ: שימו לב לסיפור החדש שלי. 
(13) לכרמלה יש 8 עפרונות יותר מאשר לסער. לכרמלה יש 12 עפרונות. כמה עפרונות יש לסער? 
במה שונה הסיפור הזה מקודמו מבעיה 12? 
ת: ב-(12) אמרת כמה עפרונות יש לסער. בסיפור האחרון אמרת כמה עפרונות יש לכרמלה. 
מ: מה תהיה הפעולה החשבונית שתוביל לתוצאה? 
ת: 12 פחות 8.
מ: סיפרתי כמעט אותו סיפור. בשני הסיפורים השתמשתי בביטוי יותר מ- ובכל זאת בסיפור החשבוני הקודם עשינו פעולת חיבור, ובסיפור החשבוני האחרון עשינו פעולת חיסור. הסבירו את ההבדל. 
ת: כאשר אומרים: יותר מ… ב… ונותנים לנו את המספר הקטן - צריך לחבר, כדי למצוא את המספר הגדול. 
מ: פרטו. 
ת: בודקים תחילה למי יש יותר ולמי פחות. אם נתון המספר הגדול, מחסרים את ההפרש כדי להגיע למספר הקטן. אם נתון המספר הקטן, מוסיפים את ההפרש כדי לקבל את המספר הגדול.  

דוגמה
לעינת יש 8 גולות יותר מאשר ליותם. ליותם 12 גולות. כמה גולות לעינת? 
כאשר אומרים: יותר מ... ב... ונותנים לנו את המספר הקטן - צריך לחבר, כדי למצוא את המספר הגדול. בדוגמה שלפנינו ליותם יש פחות מאשר לעינת. מספר הגולות שלו הוא המספר הקטן. כדי לדעת כמה גולות יש לעינת מחברים את ההפרש [8 גולות] למספר הקטן, כלומר, למספר הגולות של יותם: 16 גולות = 8 גולות + 12 גולות.

דוגמה 
לעינת יש 8 גולות יותר מאשר ליותם. לעינת 12 גולות. כמה גולות ליותם? 
גם בבעיה זו אומרים: יותר מ… ב..., אבל הפעולה תהיה חיסור, כי נתון המספר הגדול [12 הגולות של עינת] ורוצים לקבל את המספר הקטן [הגולות של יותם]. התרגיל: 4 גולות = 8 גולות - 12 גולות.

למתקדמים 

מ: גם הביטוי: פחות מ… ב… מוביל אותנו לחיבור או לחיסור. נסו להמציא סיפור חשבוני עם הביטוי פחות מ… ב… שיוביל אותנו לחיסור וסיפור חשבוני אחר עם אותו ביטוי שיוביל אותנו לחיבור.

דוגמה לבעיה של חיסור
ת: לעמיר יש 20 אגוזים. מספר האגוזים של אילן פחות ב- 6 מזה של עמיר. כמה אגוזים לאילן? 
מ: איך נפתור את הבעיה הזאת? 
ת: 20 פחות 6 הם 14.

דוגמה לתרגיל של חיבור
מ: עכשיו תנו דוגמה לבעיה שבה מופיע הביטוי: פחות מ… ב… והתרגיל יהיה חיבור. 
ת: מספר האגוזים של אילן פחות ב-6 מזה של רון. לאילן יש 14 אגוזים. כמה אגוזים לרון? 
מ: מה הפיתרון? 
ת: 6 ועוד 14 הם 20.

לסיכום

  • עסקנו בבעיות בעלות 3 מרכיבים: גודל א', גודל ב' והקשר ביניהם, שהוא או חיבור או חיסור. 

דוגמה 
לשלומי יש 7  תפוזים [גודל א'] ליהל יש 3 תפוזים [גודל ב']. בכמה גדול מספר התפוזים של שלומי מ-מספר התפוזים של יהל?
נוכל גם לנסח את השאלה אחרת: 
לשלומי יש 7 תפוזים [גודל א'] ליהל יש 3 תפוזים [גודל ב']. כמה תפוזים יש לשלומי יותר מ-יהל?
  • למדנו שאת הקשרים של חיבור וחיסור מבטאים במילים: גדול ב… מ..., קטן ב… מ..., יותר מ… ב..., פחות מ… ב...
  • למדנו שכאשר נתונים שני הגדלים [שתי הכמויות] ורוצים למצוא את הקשר [היחס] ביניהם, מחשבים את ההפרש. 
דוגמה 
לשלומי יש 7 תפוזים [גודל א'] ליהל יש 3 תפוזים [גודל ב']. כמה תפוזים יש לשלומי יותר מיהל? 
הפתרון: 
4 תפוזים = 3 תפוזים - 7 תפוזים
  • למדנו שחישוב ההפרש ייעשה על ידי חיסור המספר הקטן מהמספר הגדול ממנו. 
  • למדנו שכאשר המספרים שווים ההפרש ביניהם היא אפס. במקרה כזה אין משמעות מה מחסרים ממה.
  • למדנו שיש בעיות שבהן נתון היחס: גדול מ… ב... או: יותר מ… ב... ואחד הגדלים ועלינו לחשב את הגודל השני. 
דוגמה 
לשחר יש 3 תפוזים יותר מאשר לגאיה [היחס]. לגאיה יש 5 תפוזים [ הגודל הקטן, הכמות הקטנה]. כמה תפוזים לשחר [הגודל הגדול, הכמות הגדולה]
הפתרון
8 תפוזים = 3 תפוזים + 5 תפוזים
  • למדנו שבעיות מהסוג הזה מתחלקות לשני סוגים: 

א) נתון הגודל הקטן [הכמות הקטנה] ועלינו למצוא את הגודל הגדול [הכמות הגדולה]. הפעולה תהיה חיבור. 
דוגמה 
לשחר יש 3 תפוזים יותר מאשר לגאיה [היחס]. לגאיה יש 5 תפוזים [הגודל הקטן, הכמות הקטנה]. כמה תפוזים לשחר [הגודל הגדול, הכמות הגדולה]? 
פתרון
8 תפוזים = 3 תפוזים + 5 תפוזים
הקושי שמעוררים הביטויים: "הגודל הגדול" ו"הגודל הקטן" מעורר את הצורך בשימוש בביטויים תחליפיים כמו: "הכמות הגדולה" ו"הכמות הקטנה" או "הערך הגדול" ו"הערך הקטן".

ב) נתון הגודל הגדול [הכמות הגדולה] וצריך למצוא את הגודל הקטן [הכמות הקטנה]. הפעולה תהיה חיסור. 
דוגמה 
לשחר יש 3 תפוזים יותר מאשר לגאיה [היחס]. לשחר יש 8 תפוזים [הגודל הגדול] כמה תפוזים לגאיה [הגודל הקטן]? 
הפתרון 
5 תפוזים = 3 תפוזים - 8 תפוזים
  • למדנו שיש בעיות שבהן נתון היחס: קטן מ… ב... או פחות מ… ב... ואחד הגדלים. עלינו לחשב את הגודל השני. 
דוגמה
לשחר יש 3 תפוזים פחות מאשר לגאיה [היחס]. לגאיה יש 8 תפוזים [הגודל הגדול] כמה תפוזים לשחר [הגודל הקטן]? 
  • למדנו שבעיות מהסוג הזה מתחלקות לשני סוגים: 
א) נתון הגודל הקטן ועלינו למצוא את הגודל הגדול. הפעולה תהיה חיבור. 
דוגמה 
לשחר יש 3 תפוזים פחות מאשר לגאיה [היחס]. לשחר יש 8 תפוזים [הגודל הקטן] כמה תפוזים לגאיה [הגודל הגדול]? 
פתרון 
11 תפוזים = 3 תפוזים + 8 תפוזים
ב) נתון הגודל הגדול וצריך למצוא את הקטן. הפעולה תהיה חיסור. 
דוגמה 
לשחר יש 3 תפוזים פחות מאשר לגאיה [היחס]. לגאיה יש 8 תפוזים [הגודל הגדול] כמה תפוזים לשחר [הגודל הקטן]? 
פתרון 
5 תפוזים = 3 תפוזים - 8 תפוזים


בעיות מילוליות לתרגות הנושא
  1. בארגז אחד היו 32 תפוזים, ב-11 תפוזים יותר מבארגז שני. כמה תפוזים היו בארגז השני? 
  2. מספר התלמידים בכיתה א' גדול ב 4- ממספר התלמידים בכיתה ב'. כמה תלמידים בכיתה ב', אם בכיתה א' יש 32  תלמידים? 
  3. בשכונת "יואב" יש 86 בתים. בשכונת "הראל" יש 7 בתים יותר משכונת "יואב". כמה בתים יש בשכונת "הראל"?
  4. בית חרושת לנייר ייצר מחברות בשני גדלים. המחברות הקטנות הכילו 40 דף. המחברות הגדולות הכילו 32 דפים יותר. כמה דפים הכילה מחברת גדולה?
  5. אדם הוציא בחודש ינואר 587 ש"ח על מזון. סכום זה קטן ב-97 ש"ח מהסכום שהוא הוציא בחודש פברואר. כמה כסף הוא שילם בעבור מזון בחודש פברואר?
  6. גדר שאורכה 126 מ' מקיפה גן של בית. גדר שמקיפה את הבית והגן כאחד ארוכה ב-530 מ' יותר מזו של הגן. מה אורך הגדר שמקיפה את הבית?
  7. בשוק מכרו אבטיח ומלון. משקל האבטיח 5420 גרם. המלון שקל 3201 גרם פחות מהאבטיח. מה משקל המלון?     
  8. רדיו עלה 156.80 ש"ח. מכשיר וידיאו היה יקר ב-1890 ש"ח מהרדיו. מה היה מחירו של הוידיאו?
  9. פועל קיבל שכר של 6782 ש"ח. חברו קיבל שכר גבוה ב-672 ש"ח. כמה הרוויח החבר?
  10. מר כהן הרוויח ב-2781 ש"ח יותר ממר לוי. מר כהן הרוויח בסך הכל 6721 ש"ח. כמה כסף הרוויח מר לוי? 
  11. בספר קריאה היו 189 עמודים פחות מאשר בספר הלימוד. כמה עמודים בספר הלימוד אם בספר הקריאה היו 237 עמודים?
  12. בבית ספר "ירדן" יש 562 תלמידים יותר ממספר התלמידים בבית ספר "רמת-אביב". מספר התלמידים ב"ירדן" היה 4568. כמה תלמידים ב-"רמת-אביב"?
  13. בבית בד להכנת שמן זית הביאו בשנת תשס"א 675 ק"ג זיתים. בשנת תשס"ב הביאו לאותו בית בד 194 ק"ג יותר של זיתים. כמה ק"ג זיתים הביאו לבית הבד בשנת תשס"ב?
  14. מחיר כרטיס טיסה לאמריקה היה 1238 דולר. המחיר הוזל ב-350 דולר. מה היה מחיר הכרטיס לאחר ההוזלה? 
  15.  ארון נמכר ב-4521 ש"ח, לאחר הנחה של 854 ש"ח. מה היה מחיר הארון לפני ההוזלה? 

המורה,