יום רביעי, 6 בפברואר 2013

מהן משמעויות פעולת החילוק במספרים טבעיים?





משמעויות החילוק



ברשימה זו נעסוק במשמעויות של פעולת החילוק. לחילוק של המספרים השלמים ארבע משמעויות:

  1. חילוק לחלקים שווים
  2. חילוק להכלה
  3. חילוק כמבטא יחס
  4. חילוק כהקטנה

לפעולות החשבון יש פנים רבות ואנחנו מוצאים את עצמנו משתמשים באותה הפעולה בעקבות תהליכי מחשבה שונים. נראה כיצד תהליכי חשיבה שונים מובילים אותנו לאותה פעולת חילוק.

ראשית, ניזכר בפעולת הכפל:

פעולת כפל היא קיבוץ  של קבוצות שוות גודל  לשלם אחד


למכפלה ולנכפל אותו הכינוי
לכופל אין כינוי משום שהוא מונה את מספר הקבוצות

חילוק לחלקים שווים

בקערה  יש 12 עגבניות. סידרנו אותן שווה בשווה בשלוש קעריות. כמה עגבניות יש בכל קערית?

בכפל, השלם הוא מכפלה.
בחילוק, השלם הוא המחולק.
החיצים מציינים את מספר הקבוצות: בכפל, זהו הכופל; בחילוק לחלקים הוא המחלק.
בכפל, מספר הפריטים בכל קבוצה חלקית הוא הנכפל. בחילוק לחלקים, מספר הפריטים בכל קבוצה חלקית הוא המנה.


נתון שלם ומספר קבוצות שוות גודל של אותו השלם.בחילוק לחלקים אנו מחשבים את מספר הפריטים בכל קבוצה.
הבעיה החשבונית:
בקערה  יש 12 עגבניות. סידרנו אותן שווה בשווה בשלוש קעריות. כמה עגבניות יש בכל קערית?

התרגיל המתאים:
תשובה:
4 עגבניות בכל קערית.

חילוק לחלקים הוא זה שאנו מורגלים בו יותר בחיי היומיום. אנחנו רגילים לחלק עצמים שווה בשווה בין מספר ידוע מראש של אנשים: 6 ממתקים מחולקים שווה בשווה בין 2 אחים -- כמה ממתקים יקבל כל אחד משני האחים?
התרגיל, כמובן, 6:2. בחילוק לחלקים שבו אנו מבצעים 6:2 אנו מחלקים 6 עצמים ל-2 קבוצות שוות גודל, ושואלים כמה בכל קבוצה. התוצאה היא 3 ופירושה: שתי קבוצות שכל אחת מהן בעלת 3 עצמים וביחד יש 6 עצמים. כלומר, 2 פעמים 3 הם 6 (או בחיבור 6=3+3). 6 הוא המחולק (כי אותו מחלקים), 2 המחלק (כי הוא מחלק: קובע את מספר הקבוצות שוות הגודל) ו-3, המנה, קובע כמה איברים בכל קבוצה.

חילוק להכלה

הבעיה החשבונית:
בקערה יש 12 עגבניות. סידרנו אותן שווה בשווה בקעריות. בכל קערה הנחנו 4 עגבניות. בכמה קעריות השתמשנו?

התרגיל המתאים:

תשובה:
השתמשנו בשלוש קעריות.

בחילוק להכלה למחלק ולמחולק יש את אותו הכינוי,כי הקבוצות החלקיות מורכבות מאותם הפריטים שבונים את השלם. 
בחילוק להכלה אנחנו מחשבים כמה פעמים 12 מכיל את 4 (כמה פעמים 4 "נכנס" ב-12).

בסוג השני של החילוק מתהפכים התפקידים בין מספר הקבוצות לבין מספר האיברים בכל קבוצה. הפעם נתון מספר האיברים בכל קבוצה ומבוקש מספר הקבוצות. למשל, אמא חלקה 6 ממתקים בין ילדיה. כל אחד קיבל 2 ממתקים. כמה ילדים יש לה?
התרגיל הוא 3=6:2, אבל הפעם הוא עונה לשאלה אחרת. בחילוק לחלקים שאלנו: 6 עצמים חולקו ל-2 קבוצות, כמה עצמים יהיו בכל קבוצה? ואילו בחילוק להכלה השאלה היא: חילקנו 6 עצמים כך שבכל קבוצה יש 2, כמה קבוצות יש?
אפשר לבטא זאת כך: כמה פעמים נכנס 2 ב-6, או כמה פעמים מוכל 2 ב-6? מכאן שם הסוג הזה של החילוק, חילוק להכלה. התשובה 3 משמעותה ש-3 קבוצות בגודל 2 מכילות יחד 6. כלומר, 3 פעמים 2 הם 6 (בחיבור: 6=2+2+2).
נבחין שהבדל בין שתי המשמעויות הוא בהבדל בין 2 פעמים 3 לבין 3 פעמים 2.



משימה
המציאו לתרגיל =24:6 שתי בעיות: אחת של חילוק לחלקים ואחת של חילוק להכלה. רשמו בתרגילים את הכינויים הנדרשים ואת סוג החילוק שמתאים לכל בעיה.

הנה סרטון שמסביר משמעויות של חילוק כפי שלמדנו: חילוק לחלקים וחילוק להכלה: 
אז איך מחלקים בשבר? -- כאן סטיתי מהתוכנית המקורית שלי לשיעור בגלל העניין של התלמידים ובגלל שאלותיהן:

תלמידים מתלהבים מההבנת ההבדלים ויש מביניהם שגם שואלים על חילוק  בשבר. בעקבות דיון המסקנה היתה שלא ניתן להשתמש בחילוק לחלקים אבל כן אפשר להשתמש בחילוק להכלה.

12:1/3 -- כמה הם 12 לחלק ב-1/3? נשתמש בחילוק להכלה ונשאל כמה פעמים 1/3 נכנס ב-12?
שליש נכנס בשלם פעם אחת. 12 הן 12 פעמים אחד, השלם -- ולכן בסך הכול כדי לפתור את זה נחשב כמה הם 12 פעמים שלוש ונקבל 36.

מכאן הגיעה שאלה כמה זה שליש לחלק לתשיעית?
חילקנו שלם לתשעה חלקים שווים:
נתבונן בשליש ממנו ונספור כמה תשיעיות יש בתוך השליש -- כמה תשיעיות נכנסות בשליש:
וראינו שיש שלוש.

אנחנו נמנענו מטריקים ומטכניקה להגיע לתשובה ללא משמעות. בשיעור עבדנו על הבנה מה אנחנו מחפשים בתרגיל, מה המשמעות וכיצד נמצא את התשובה מתוך הבנת המשמעות.

ואז באה השאלה: כמה הם שליש לחלק לשמונה תשיעיות?
היו הצעות רבות בדיון -- זכתה בפשטותה ההצעה שאמרה -- אנחנו כבר יודעים לפתור שליש לחלק לתשיעית (יצא 3) ואנחנו רואים שהביטוי 1/3:8/9 קטן פי שמונה מהביטוי 1/3:1/9 כי מחלקים בשמונה תשיעיות לעומת חלוקה בתשיעית ולכן התשובה צריכה להיות קטנה פי שמונה מהתשובה לשאלה הקודמת וקיבלנו 3/8.

במשמעות השבר ובארבע פעולות החשבון בשבר נעסוק באחד מהשיעורים הבאים בהמשך, נבין מדוע אנו נדרשים לפעולות המורכבות בשברים, מה משמעויותיהן ומדוע הן עובדות -- כך גם נשתחרר מהצורך לזכור תהליכים מורכבים או כללים סתמיים ופשוט נבין ונדע לבד לבנות את הדרך לפתרון, דרך יעילה וקצרה לפתרון בעיות בשברים. אך כל זה בעוד מספר שיעורים.

חילוק כמבטא יחס

בעיה חשבונית:
יש לי 12 עגבניות. יש לי 3 קעריות. מה היחס בין כמות העגבניות לבין כמות הקעריות?
היחס הוא 12:3
איך הגענו לתשובה? ביצענו פעולת חילוק: 4=12:3.
התוצאה היא מספר חסר כינוי.
יצאנו מהנתונים המספריים והגענו ליחס.

לפנינו עובד אשר מרוויח 1000 ש"ח. מה נוכל לומר על מצבו?
לא נוכל לומר דבר בעל משמעות כי איננו יודעים ביחס למה להעריך את שכרו של העובד שמשתכר 1000 ש"ח. אם למשל היו בידינו נתונים על השכר הממוצע בעבור עבודה שמבצע עובד כזה אז יכולים היינו להעריך האם הוא משתכר פחות מידי, יותר מידי, או שכר הגון.

בעיה חשבונית:

בחוגי סיירות משתתפים 450 ילדים. בחוגי מחשבים משתתפים 90 ילדים. פי כמה  גדול מספר המשתתפים בחוגי הסיירות לעומת מספר המשתתפים בחוגי  המחשבים?


אפשר לנסח את השאלה גם פי כ מה קטן מספר המשתתפים בחוגי המחשב מזה  שבחוגי הסיירות. התרגיל ישאר אותו התרגיל.
למחלק ולמחולק יש מכנה משותף, אך המנה היא מספר טהור, חסר כינוי.

בבעיה הזאת מצאנו את היחס בהנתן שני גדלים כמותיים.

בעיה חשבונית:
בדוכן אחד בשוק יש 280 ק"ג ירקות, בדוכן הסמוך לו יש פי 7 יותר ירקות. כמה ק"ג ירקות יש בדוכן השני?

אנו זוכרים שהמילה פי מבטאת יחס. זו בעיה שפתרונה דורש כפל (ולא חילוק) ה-280 ב-7.
התרגיל:
בעיה חשבונית אחרת:

בדוכן אחד בשוק יש 280 ק"ג ירקות, בדוכן הסמוך לו יש פי 7 פחות ירקות. כמה ק"ג ירקות יש בדוכן השני?
פה נזדקק לחילוק כי יש כאן רמז לשון: "פי כמה פחות"


עכשיו נראה תרגיל שמופיע בו רמז לשון "פי 3 יותר" ונזדקק דווקא לחילוק. למרות המילה יותר הפעולה מחייבת הקטנת הגודל הכמותי על ידי חילוק:
לתמי יש בקופת החיסכון שלה 540 ש"ח. לתמי יש פי 3 יותר כסף בקופת החיסכון שלה מאשר ליותם. כמה כסף יש ליותם בקופת החיסכון שלו?
חשוב שנבין מהי נקודת המוצא לקביעת היחס ולפיה נדע מהי הפעולה החשבונית שיש לבצע.

המכנה המשותף בין הכמויות מאפשר את קביעת היחס -- ללא המידה המשותפת לא ניתן לקבוע יחס בין הכמויות. המכנים המשותפים בין המחלק לבין המחולק הם הבסיס להשוואה.

נתבונן בבעיה שבה נצטרך להביא את הכמויות למכנה משותף שבלעדיו לא נוכל לקבוע את היחס:
תייר הביא עמו 700 ש"ח וחברו הביא עמו 1400 דולר. מה היחס בין כמויות הכסף שבידיהם?

קביעת היחס תחייב המרת הערכים בין המטבעות ממטבע אחד לאחר או מכל מטבע למטבע שלישי, רק כך נוכל לקבוע את היחס שבין הכמויות.

ללא מידה משותפת לא ניתן לקבוע יחס
ליחס יש כמה משמעויות ומובנים ונעסוק בו בהרחבה בשיעור מספר 12. נזכיר כעת גם משמעות נוספת של חילוק (שגם היא בעצם יחס)



חילוק כהקטנה

ילד קיבל 12 עגבניות ואילו חברו קיבל פי שלושה פחות מהראשון. כמה עגבניות קיבל החבר?
התשובה: 4 עגבניות לחבר. ביצענו פעולת חילוק 4=12:3
אנו יוצאים מהיחס ומגיעים למספר שנובע מהיחס.
יש קשר הפוך בין המשמעות השלישית לבין המשמעות הזאת, הרביעית: שתי המשמעויות הן פועל יוצא של אותה הפעולה -- החילוק.

היחס בין מספר התלמידים בין ישוב א' לבין ישוב ב'  הוא 1:8. בישוב ב' לומדים 560 תלמידים. כמה תלמידים לומדים בישוב א'?

הגודל הכמותי הנתון: 580 תלמידים. זהו שלם אחד.
היחס הוא 1:8.
הגודל הכמותי שנובע מהנתונים (חישוב ערכו של השלם השני).
כאמור, ליחס יש כמה משמעויות ומובנים ונעסוק בו בהרחבה בשיעור מספר 12. גם במשמעות זו.

סיכום ההבדלים בין המשמעויות של החילוק: לחלקים להכלה ויחס
בחילוק אין מכנה משותף למחלק, למחולק ולמנה


למה אי אפשר לחלק ב-0?

המספר אפס שימושי ביותר במתמטיקה אך יחסית נכנס לשימוש באופן שוטף מאוחר יחסית בחשבון. בחילוק האפס יוצר לנו בעיות. נבדיל בין שני מקרים: מקרה אחד, כאשר נרצה לחלק אפס באפס, ומקרה שני, כאשר נרצה לחלק מספר שאינו אפס באפס. נשמן לנו דוגמאות: 0:0 ו-6:0 בהתאמה.

חילוק לחלקים הוא בעל משמעות וניתן לבצעו כאשר אנחנו מחלקים למספר טבעי (מספרים שלמים החל מ-אחת: 1, 2, 3, ...) של חלקים. אי אפשר לחלק ל-0 חלקים (באותו אופן, אי אפשר לחלק ל- 8- או ל- 1/3 חלקים. מבחינת החילוק לחלקים יש משמעות רק לחילוק במספר טבעי.

מתוך הבנה של חילוק להכלה אנו יכולים לומר שהתרגיל 6:0 פירושו (בין השאר) "כמה פעמים 0 נכנס ב-6?". אבל אנחנו יודעים שאין זה משנה כמה אפסים נחבר יחדיו נשאר עם אפס ולעולם לא נקבל 6. ולכן אין שום תשובה נכונה לתרגיל 6:0 ובאותו האופן אין משמעות לכל מספר טבעי שנחלק באפס.

מצבו של 0:0 שונה. לפי משמעות של חלוקה להכלה "כמה פעמים 0 נכנס ב-0?" אין זה נכון לומר שאין תשובה. פה הבעיה היא שכל תשובה נכונה: כי יכולנו לומר שאפס נכנס באפס חמש פעמים וזה נכון. אבל גם אפס נכנס באפס 19 פעמים וגם זה נכון! כך עם כל מספר שנבחר. משום שכללי החילוק נקבעו כך שישנה רק תשובה אחת נכונה, נאמר שאי אפשר לחלק באפס. הסיבה שלא נבחרה אחת התשובות הנכונות באופן שרירותי כפתרון היא משום שבחירה כזאת מביאה לסתירות במתמטיקה ואין אנו רוצים בזאת.

לסיכום: 
אי אפשר לחלק באפס כי אם המספר שאותו מחלקים איננו 0, אזי אין שום תשובה נכונה ולכן חלוקה באפס אינה מוגדרת.
אם המספר שאותו מחלקים הוא 0 אזי לכאורה כל תשובה נכונה וכל תשובה נכונה כזאת מביאה אותנו לסתירה עם כללי החשבון ולכן אנו קובעים ש- 0:0 אינו מוגדר. 

המורה, 


מקורות