יום שבת, 15 בדצמבר 2012

איך ללמד ילדים משמעויות של חיבור ודקויות במשמעויות?


משמעויות של חיבור במספרים טבעיים ודקויות במשמעויות

נושא זה מזמן המחשה רבה בעזרת חיבור חפצים קשורים שנמצאים בבית ומעולם הילדים. לדוגמה: כדורים, לבני לגו, קוביות וכו'.

כאשר בשלב מוקדם של הלימוד הילדים רואים כיצד מצבים שונים מובילים לאותו הפתרון וכיצד אותו התרגיל מייצג בעיות שונות הם מסוגלים לגשת לפתרון בעיות מגוונות ביעילות, בביטחון ומתוך הבנה.


הצעות לפעילות -- חיבור חפצים דומים:
  1. שלוש בובות קטנות ובובה אחת גדולה (ארבע בובות)
  2. שני ספלים זהים ואחד שונה (שלושה ספלים)
  3. שלושה בנים ושתי בנות מהגן (חמישה ילדי גן)
  4. שני אגסים וארבעה תפוחים (6 פירות)
מקום נוח לפעילויות כאלה בכלל המגוון הוא גם המרכול, שם אפשר, תוך כדי הקניות לעסוק בפעילות שכזאת.

בכל אחד מהצירופים האלה נפגשים הילדים בסיכום של שתי קבוצות שאותן ניתן לחבר ולמצוא את הסך הכולל.

נבקש מהילדים לספר סיפורים חשבוניים שמתייחסים לקבוצות שהראינו להם.
תנו לילדים לשאול את השאלות שמתייחסות לפעולות החשבוניות.

ספרו לילדים סיפור חשבוני, למשל: "לענבר יש שלוש כוסות ולמור יש כוס אחת. כמה כוסות יש להן ביחד?" בזמן שאתם מספרים את הסיפור בקשו מהילדים לספור 3 ועוד 1 באמצעות פרטי המנייה שלהם, כדי לקבל בסך הכל 4.

ממבט בספרי לימוד ובמחברות של תלמידים בבית ספר יסודי נדמה לי שיש הנחה שהעיקר בלימודי החשבון הוא פתרון טכני של תרגילים. זה אמנם חשוב ושימושי, אבל מחשבונים ומחשבים עושים זאת במהירות רבה יותר, ביעילות רבה יותר וללא טעויות. -- המיומנות החשובה ביותר דווקא מוזנחת והיא היכולת לקבל בעיה בשפה טבעית, להבין מהו מידע עודף ושאינו רלוונטי ומה המידע הנחוץ ואיזה מידע חסר ומשם להבין מהו התרגיל או מהי סדרת התרגילים שיש לנסח ולפתור כדי להגיע לפתרון (או לידיעה שיש יותר מפתרון אחד או שאין פתרון) -- לעתים יש יותר מדרך אחת לפתור ואז יש צורך להעריך מהי השיטה היעילה בהקשר שתביא לפתרון טוב ומוצלח. תלמידים צריכים ללמוד לחשוב. תלמידים צריכים להיות מסוגלים גם להמציא בעיות מתאימות ולפתור אותן.

קשרים בין מספרים

שלב ראשון:
מציגים בפני הילדים חפצים בחדר או בכתה ומבקשים מהם לספר סיפור חשבוני על אודות הפריטים.

שלב שני:
מציגים בפני הילדים תמונה ומבקשים מהם לספר סיפור חשבוני לפי התמונה.

מהו סיפור חשבוני? 
סיפור חשבוני מתאר קשר חשבוני כלשהו בין מרכיביו. בסיפור חשבוני נשתמש במידות ובכמויות וביחסים ביניהם כדי לתאר מצב. 

לדוגמה:
יש בחדר 4 אנשים, שני מבוגרים ושני ילדים.

אפשר להפוך סיפור חשבוני לבעיה חשבונית. בעיה חשבונית מקבלים מסיפור חשבוני שבו מוצגת גם שאלה שיש לענות עליה. 

לדוגמה:
יש בחדר 4 אנשים: שני מבוגרים והשאר ילדים. כמה ילדים?

לסיפור החשבוני אפשר להמציא בעיות חשבוניות רבות לפי ה-"תרגיל" שיפתור את הבעיה ולפי המשמעות. 

הילדים לומדים למצוא את הקשרים המספריים בין פריטים, את היחס בין השלם לחלקיו, את ההפרדה של מספר למרכיביו ואת ההרכבה של מספר ממרכיביו. הפרדה זו תשמש בסיס לפעולת החיסור ולחשיבה ממיינת. הילדים לומדים לנסח מערכות של יחסים מספריים ולרשום אותן בסקיצה של שלם וחלקיו, לתרגם סקיצה למצב נתון ולהיפך. הם לומדים שיש מספר היבטים לאותה תופעה, השלמת מספר ל-10 ולמספרים אחרים (בסיס לחציית גבול העשרת ולמשוואות).

דוגמה עם חיבור:

הורה: מה הסיפור החשבוני שאפשר לספר?
ילד: באקווריום אחד יש 3 דגים, באקווריום השני יש אפס דגים. ביחד יש בשני האקווריומים 3 דגים.
הורה: כתבו את התרגיל
ילד: 3=3+0
הורה: מי רוצה לספר את הסיפור הזה אבל בסדר אחר? להתחיל מהאקווריום הריק.
ילד: באקווריום אחד היו אפס דגים.  באקווריום השני היו 3 דגים. בסך הכול היו 3 דגים.
הורה: איך נכתוב עכשיו את התרגיל?
ילד: 3=3+0
הורה: בבית הספר ראיתם הרבה מאוד תרגילים של חיבור, לפעמים יש גם סיפורים. יש מסקנה שמתאימה למה שראינו פה ולפי מה שראיתם וששמעתם בבית הספר?
ילד: בתרגילי חיבור אפשר להחליף את סדר המחוברים והסכום יישאר אותו הסכום.
הורה: איך קוראים לכלל הזה?
ילד: חוק החילוף
הורה: למה השם הזה?
ילד: כמו שאמרתי, כי אפשר להחליף את סדר המחוברים והסכום זהה. 
הורה: אפשר לתת דוגמה נוספת?
ילד: כן. למשל, 5=2+3 ו- 5=3+2 
ילד: [שגוי חלקית] רואים ששתיים ועוד שלוש וששלוש ועוד שתיים זה אותו הדבר: חמש.
הורה: זה אותו הדבר בתוצאה. לא תמיד זה אותו הדבר במשמעות. למשל, הצע סיפורים חשבוניים לתמונה הבאה: ספר את העובדות שרואים בתמונה:


ילד: שלוש ציפורים נחות על הקרקע ושתי ציפורים נוחתות.
הורה: יש עוד הצעות?
ילד: בתמונה שלוש דוכיפת ושני תוכים.
הורה: מה ההבדלים בין הסיפורים?
[דיון]
הורה: איך תסכם את הדיון?
ילד: בסיפור הראשון הצטרפו לקבוצת הציפורים שעל הקרקע עוד שתי ציפורים ואילו מהסיפור השני נדמה שהציפורים מההתחלה היו באותה הקבוצה.
הורה: בעיה חשבונית היא סיפור חשבוני שמציג בסופו שאלה שיש לענות עליה. נא להציג בעיה חשבונית לסיפור הראשון.
ילד: שלוש ציפורים עומדות על הקרקע. שתי ציפורים נחתו והצטרפו. כמה ציפורים יש לנו בסך הכול?
הורה: מה התרגיל שמתאים לבעיה החשבונית?
ילד: 5=3+2
הורה: ומה בנודע לבעיה חשבונית לסיפור השני?
ילד: בתמונה שלוש דוכיפת ושני תוכים. כמה ציפורים בתמונה בסך הכול?
הורה: ותרגיל מתאים?
ילד: 5=3+2
הורה: התרגיל, אותו התרגיל, המשמעות שונה בשני המקרים.


בחיבור דינמי הצירוף הוא שינוי מצב:
שלוש ציפורים נחו על הקרקע ושתיים הצטרפו. כמה יש עכשיו?
בחיבור סטטי הצירוף מבטא חלוקה לסוגים:
בתמונה שלוש דוכיפת ושני תוכים. כמה ציפורים בתמונה בסך הכול?
יש בין המורים שמכנים את החיבור הדינמי סרט ואילו את החיבור הסטטי מכנים תמונה.

חיבור

בכתה א' מציגים לילדים את שתי פניו של החיבור: חיבור כהוספה (מספרים מונים) וחיבור כספירה (מספרים טהורים). הילדים לומדים להסתמך על הגדרה של פעולה ליצירת סיפורים חשבוניים. הם לומדים להסתמך על נתונים ציוריים (בנוסף לאמצעי המחשה אחרים המצויים בידיהם) כדי להנות סיפורי חשבון ולתרגמם לתרגילי חשבון שמייצגים את היחסים המתאימים ולתרשים שמתאר את היחסים בין השלם לחלקיו. ראינו גם הבדל בין חיבור ססטי (תמונה) לחיבור דינמי (סרט) בדוגמה הקודמת. 

אופן המנייה

את החיבור אפשר לתאר באופן מעשי בשני אופנים:
  1. איחוד של שתי קבוצות, וספירה של מספר האיברים בקבוצה המאוחדת -- לדוגמה, איסוף ילדי שתי כיתות לאולם בית הספר, וספירת מספר התלמידים בקבוצה המשותפת, מההתחלה
  2. שינוי של קבוצה אחת, שמוסיפים לה עוד איברים -- לדוגמה, העברת ילדי הכיתה האחת לחדר הכיתה השנייה בזה אחד זה. כאן המנייה של מספר התלמידים בסך הכול הוא מניית המשך: יודעים כמה תלמידים בכתה השנייה ומוסיפים בכל פעם עוד 1 בכל רגע שתלמיד נוסף מצטרף
שתי המשמעויות מתלכדות ומביאות לאותן תוצאות חישוביות ועקרוניות. אם כך, מדוע לנו להבחין ביניהן? 
אפשר למנות את חברי הקבוצה בסוף המקרה מההתחלה או שאפשר למנות באמצעות מניית המשך (ממשיכים למנות את החברים שנוספו לקבוצה).

השיטה השנייה יעילה יותר.

דוגמה נוספת להמחשת החיבור הדינמי, שבה מרגישים שיש משמעות לסדר החיבור:
הורה: אספר על שני אנשים סיפור דומה בשני מקרים שונים: לדוד היו 100 גלויות באוסף הבובות שלו והוא זכה בבובה נוספת. ליעל היתה בובה אחת ויחידה ובתחרות היא זכתה ב-100 נוספות. מה הדומה ומה השונה במצבם של הילדים?
ילד: דומה? לשניהם בסוף הסיפור יש 101 בובות. שונה? מצבו של דוד אחרי הזכייה לא שונה מאוד ממצבו קודם לכן, יש לו עוד בובה אחת בסך הכול, אבל מצבה של יעל השתפר מאוד כי עכשיו יש לה הרבה הרבה יותר בובות משהיו לה לפני הזכייה.
הורה: מה התרגיל שמתאים לתאר את המקרה של דוד?
ילד: 101=1+100
הורה: ומה התרגיל שמתאים לתאר את המקרה של יעל?
ילד: 101=100+1
הורה: אז 100+1 ו- 1+100 זה אותו הדבר?
ילד: כנראה שלא תמיד, בדוגמה הזאת זה אותו הדבר רק בתוצאה המספרית, אבל ממש לא אותו הדבר במשמעות. חוק החילוף מתאר רק את התוצאה המספרית ולא מתייחס למשמעות.

אנחנו משתמשים בתרגילים שלנו בחוק החילוף לצורך הנוחות כי ישנם ממקרים שבהם זה מקל על החישובים. למשל, קל יותר לחשב 9+2 מאשר 2+9. במקרה הראשון אני צריך להמשיך ולספור "עשר, אחת עשרה" וסיימתי, ואילו במקרה השני "שלוש, ארבע, חמש, ..., עשר, אחת עשרה". ההבדל הוא בכמה צעדים עליי להתקדם כדי להגיע לתוצאה.

נשים לב שבשפה אין אנו מקפידים להבחין בין המחבר לבין המחובר, לשניהם אנו קוראים מחוברים.

ראינו שלפעולת החיבור בחשבון יש משמעויות שונות ושישנן דקויות שגורמות לסיפור החשבוני להשתנות גם אם מדובר באותו התרגיל. גם עמדנו על דקות בחוק החילוף: התוצאה זהה אבל לא בהכרח המשמעות.

שלמה יונה